Question

4．設(shè)S_n，為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S_n=2ⁿ-1，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$的最大值為$\frac{1}{15}$．

Answer 1

分析 S_n=2ⁿ-1，可得a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{64}{{2}^{n}}-1}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵S_n=2ⁿ-1，∴a₁=S₁=2-1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}（{2}^{n}-1）+{2}^{5}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{64}{{2}^{n}}-1}$≤$\frac{1}{2\sqrt{{2}^{n}•\frac{64}{{2}^{n}}}-1}$=$\frac{1}{15}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$的最大值為$\frac{1}{15}$．
故答案為：$\frac{1}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．