Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sinx+tanx-2x．
（1）證明：函數(shù)f（x）在$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增；
（2）若$x∈（0，\frac{π}{2}）$，f（x）＜mx²，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到導函數(shù)是非負數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出m的具體范圍即可．

解答 解：（1）證明：$f'（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2$，
因為$x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以cosx∈（0，1]，
于是$f'（x）=2cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2≥{cos^2}x+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2≥0$（等號當且僅當x=0時成立）．
故函數(shù)f（x）在$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增．
（2）由（1）得f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，
又f（0）=0，所以f（x）＞0，
（�。┊攎≤0時，f（x）＞0≥mx²成立．
（ⅱ）當m＞0時，令p（x）=sinx-x，則p'（x）=cosx-1，
當$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，p'（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減，
又p（0）=0，所以p（x）＜0，
故$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，sinx＜x．（*）
由（*）式可得f（x）-mx²=sinx+tanx-2x-mx²＜tanx-x-mx²，
令g（x）=tanx-x-mx²，則g'（x）=tan²x-2mx
由（*）式可得$g'（x）＜\frac{x^2}{{{{cos}^2}x}}-2mx=\frac{x}{{{{cos}^2}x}}（x-2m{cos^2}x）$
令h（x）=x-2mcos²x，得h（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，
又h（0）＜0，$h（\frac{π}{2}）＞0$，所以存在$t∈（0，\frac{π}{2}）$使得h（t）=0，
即x∈（0，t）時，h（x）＜0，
所以x∈（0，t）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
又g（0）=0，所以g（x）＜0，
即x∈（0，t）時，f（x）-mx²＜0，與f（x）＞mx²矛盾．
綜上，滿足條件的m的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．