Question

10．點(diǎn)P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為直徑的圓恰好過點(diǎn)P，且sin∠PF₁F₂=$\frac{3}{5}$，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)F₁F₂為圓的直徑，推斷出∠F₁PF₂為直角，進(jìn)而可推斷出sin∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)P在右支上，|PF₂|=t，
由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+t，利用勾股定理，解方程可得雙曲線的離心率．

解答 解：∵F₁F₂為圓的直徑，
∴△PF₁F₂為直角三角形，
∴sin∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{3}{5}$，
設(shè)P在右支上，|PF₂|=t，
由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+t，
可得t=$\frac{6}{5}$c，
由勾股定理可得4c²=t²+（2a+t）²，
即4c²=（$\frac{6}{5}$c）²+（2a+$\frac{6}{5}$c）²，
化簡(jiǎn)為7c²-30ac-25a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得7e²-30e-25=0，
解得e=5（負(fù)的舍去），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查離心率的求法，注意運(yùn)用直角三角形的正弦函數(shù)的定義，注意雙曲線定義的靈活運(yùn)用．