Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是線段AB的中點(diǎn)

（1）求證：平面PDE⊥平面ABCD；
（2）設(shè)直線PC與平面PDE所成角為θ，求cosθ

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD⊥平面PAB，PE平面PAB，

∴AD⊥PE，

又∵△PAB是正三角形，E是線段AB的中點(diǎn)，∴PE⊥AB，

∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，

∵PE平面PED，∴平面PED⊥平面ABCD．

（2）解：以E為原點(diǎn)，在平面ABCD中過E作EB的垂直線x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，

則E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，﹣1，0），P（0，0， ），

=（2，﹣1，0）， =（0，0， ）， =（﹣1，﹣1，﹣ ），

設(shè) =（x，y，z）為平面PDE的一個法向量，

由 ，取x=1，得 =（1，2，0），

設(shè)PC與平面PDE所成角為θ，

則sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

∴cos ．

【解析】（1）推導(dǎo)出AD⊥PE，PE⊥AB，由此能證明平面PED⊥平面ABCD．（2）以E為原點(diǎn)，在平面ABCD中過E作EB的垂直線x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，利用向量法能能求出cosθ．
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．