8．已知A、B是單位圓（O為圓心）上的兩個(gè)定點(diǎn)，且∠AOB=30°，若C為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則xy的最大值為2-$\sqrt{3}$．

分析 對(duì)$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$兩邊平方得出x，y的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)求出xy的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×1×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，∴x2+y2+$\sqrt{3}$xy=1，
即x2+y2=1-$\sqrt{3}$xy，又x2+y2≥2xy，
∴1-$\sqrt{3}$xy≥2xy，
∴xy≤$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
故答案為：2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的左、右焦點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求橢圓的方程，并寫出m的取值范圍；
（2）設(shè)P（x0，y0）為橢圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線F2P與y軸相交于點(diǎn)Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，證明：點(diǎn)P在直線x+y-2=0上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

19．比較30.2與log30.2的大小，按從小到大的順序?yàn)閘og30.2＜30.2 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．在凸多邊形當(dāng)中顯然有F+V-E=1（其中F：面數(shù)，V：頂點(diǎn)數(shù)，E：邊數(shù)）類比到空間凸多面體中有相應(yīng)的結(jié)論為；F+V-E=2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．已知不等式|a-2x|＞x-1，對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，則a的取值范圍為（-∞，2）∪（5，+∞）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．給出下列5種說法：
①標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)也越��；
②回歸分析研究的是兩個(gè)相關(guān)事件的獨(dú)立性；
③在回歸分析中，預(yù)報(bào)變量是由解釋變量和隨機(jī)誤差共同確定的；
④相關(guān)指數(shù)R2是用來刻畫回歸效果的，R2的值越大，說明回歸模型的擬合效果越好．
⑤對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說，k越小，判斷“X與Y有關(guān)系”的把握越�。�
其中說法正確的是①③④⑤（請(qǐng)將正確說法的序號(hào)寫在橫線上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．已知向量|$\overrightarrow a}$|=4，$\overrightarrow e$為單位向量，當(dāng)他們之間的夾角為$\frac{π}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影與$\overrightarrow{e}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影分別為（　　）
A．2$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$B．2，$\frac{1}{2}$C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2$\sqrt{3}$D．2，2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：
日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日
溫差x（℃）101113128
發(fā)芽y（顆）2325302616
該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，剩下的2組數(shù)據(jù)用于回歸方程檢驗(yàn)．
（1）若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}=\stackrel{∧}x+\stackrel{∧}{a}$；
（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（3）請(qǐng)預(yù)測(cè)溫差為14℃的發(fā)芽數(shù)．
其中
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{{x}^{\;}}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．已知橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1，則它的兩焦點(diǎn)之間的距離為$2\sqrt{7}$．

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