已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-x2-3x在x1、x2處分別取得極大值和極小值，記點(diǎn)M（x1，f（x1））N（x2，f（x2））．
（1）求x1，x2的值；
（2）證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點(diǎn)．
解法一：∵函數(shù)f(x)=
1
3
x3-x2-3x在x1，x2（x1＜x2）處取得極值，記點(diǎn)M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），
f'（x）=x2-2x-3，
的兩個(gè)根為x1，x2，
由f'（x）=x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3（3分）
令f'（x）＞0，x＞3或x＜-1，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），f'（x）＜0，-1＜x＜3，單調(diào)減區(qū)間為（-1，3）（5分）
所以函數(shù)f（x）在x1=-1．x2=3處取得極值．
（2）由（1）可知，M(-1，
5
3
)．N(3，-9)（7分）
所以直線MN的方程為y=-
8
3
x-1（8分）
由
y=
1
3
x3-x2-3x
y=-
8
3
x-1
得x3-3x2-x+3=0，（9分）
令F（x）=x3-3x2-x+3，易得F（0）=3＞0，F(xiàn)（2）=-3＜0，（11分）
而F（x）的圖象在（0，2）內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故F（x）在（0，2）內(nèi)存在零點(diǎn)x0，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點(diǎn)．（12分）
解法二：同解法一，可得直線MN的方程為y=-
8
3
x-1（8分）
由
y=
1
3
x3-x2-3x
y=-
8
3
x-1
得x3-3x2-x+3=0（9分）
解得x1=-1，x2=1．x3=3，
∴
x1=-1
y1=
5
3
x2=1
y2=-
11
3
x3=3
y3=-9
（11分）
所以線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點(diǎn)(1，-
11
3
)．（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，直線l1：x=2，直線l2：y=3tx（其中-1＜t＜1，t為數(shù)）；．若直線l2與函數(shù)f（x）的圖象以及直線l1，l2與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（1）求y=f（x）；
（2）求陰影面積s關(guān)于t的函數(shù)y=s（t）的解析式；（3）若過點(diǎn)A（1，m），m≠4可作曲線y=s（t），t∈R的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）=x2，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）e2-x在x=1處取得極值，且在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為6x+y-27=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出f（x）在x=1處的極值是極大值還是極小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-2ax2+bx+c．
（Ⅰ）當(dāng)c=0時(shí)，f（x）的圖象在點(diǎn)（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
3
2
，b=-9時(shí)，f（x）在點(diǎn)A，B處有極值，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，O三點(diǎn)共線，求c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有（　　）
A．一個(gè)極大值，一個(gè)極小值
B．一個(gè)極大值，兩個(gè)極小值
C．兩個(gè)極大值，一個(gè)極小值
D．兩個(gè)極大值，兩個(gè)極小值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)g（x）=（a-2）x（x＞-1），函數(shù)f（x）=ln（1+x）+bx的圖象如圖所示．
（I）求b的值；
（II）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）=
3x
+1，則
lim
△x→0
f(1-△x)-f(1)
△x
的值為（　�。�
A．-
1
3
B．
1
3
C．
2
3
D．0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=lnx-x-1，h（x）=
1
2
x2．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的極大值．
（Ⅱ）求證：存在x0∈（1，+∞），使g(x0)=g(
1
2
)；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)f（x）與h（x）定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的分界線．試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請給予證明，并求出k，b的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案