Question

已知函數(shù)y=lnx的圖象上三點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)依次為m，m+1，m+2，記△ABC的面積為S=f（m）．
（1）求函數(shù)S=f（m）的解析式；
（2）判斷并證明函數(shù)S=f（m）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）過A，B，C，分別作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x軸，垂足為A₁，B₁，C₁，則S=S梯形AA₁B₁B+S梯形BB₁C₁C-S梯形AA₁C₁C，進(jìn)而得出函數(shù)f（t）的表達(dá)式．
（2）由（1）中得f（ m），先根據(jù) v＞1，推斷v=t²+4t為增函數(shù)，進(jìn)而推斷函數(shù)f（t）為減函數(shù)．

解答： 解：（1）過A，B，C，分別作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x軸，垂足為A₁，B₁，C₁，
則S=f（m）=S_{梯形ABB′A′}+S_{梯形CC′BB′}-S_{梯形ACC′A′}=

1

2

[lnm+lm（m+1）]×1+

1

2

[ln（m+1）+ln（m+2）]×1-

1

2

[lnm+ln（m+2）]×2．
即f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)．
（2）f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)，在（0，+∞）上是減函數(shù)．
證明：∵v=m²+2m在[-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴m＞0時(shí)，m²+2m是增函數(shù)，

1

m2+2m

是減函數(shù)．
所以復(fù)合函數(shù)f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)，在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．常涉及利用單調(diào)性求函數(shù)的值域和最值等問題．