Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓短軸的一個頂點(diǎn)B與兩個焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂組成的△BF₁F₂的周長為4+2

2

，且∠BF₁F₂=45°，求這個橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出橢圓方程，根據(jù)條件可得△BF₁F₂為等腰直角三角形，則b=c，a=

2

c，由△BF₁F₂的周長得到c的方程，解得c，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答： 解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
|F₁F₂|=2c，|BF₁|=|BF₂|=a，
由于∠BF₁F₂=45°，則△BF₁F₂為等腰直角三角形，
則b=c，a=

2

c，
則△BF₁F₂的周長為2a+2c=2

2

c+2c=4+2

2

，
解得，c=

2

，
則有a=2，b=

2

，
則橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程、定義和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．