Question

15．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-1）=-1，有xf′（x）＞f（x），則不等式f（x）＞x的解集是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，0）U（1，+∞）
• D． （-∞，-1）U（1，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，通過討論x＞0和x＜0的情況，求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，
函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴x＞0時，g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴g（x）在R上是偶函數(shù)，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∵f（-1）=-f（1）=-1，∴f（1）=1，
∴g（-1）=g（1）=1，
x＞0時，由f（x）＞x，得$\frac{f（x）}{x}$＞1，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞1=g（1），解得：x＞1，
x＜0時，由f（x）＞x，得$\frac{f（x）}{x}$＜1，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＜1=g（-1），解得：0＜x＜1，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵．