Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（p-2）x²+（2q-8）x+1（p＞2，q＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)p=q=3時(shí)，求使f（x）≥1的x的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，求pq的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式$\frac{1}{2}$x²-2x+1≥1，解出即可；（Ⅱ）得到-$\frac{2q-8}{p-2}$≥2，即p+q≤6，由p＞0，q＞0，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出pq的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
由f（x）≥1得：$\frac{1}{2}$x²-2x+1≥1，解之得x≤0或x≥4，
所以使f（x）≥1的x的取值范圍是{x|x≤0或x≥4}；…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)p＞2時(shí)，f（x）圖象的開(kāi)口向上，
要使f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，須有-$\frac{2q-8}{p-2}$≥2，…（7分）
得p+q≤6，由p＞0，q＞0知p+q≥2$\sqrt{pq}$，所以2$\sqrt{pq}$≤6，得 pq≤9，
當(dāng)p=q=3時(shí)，pq=9，
所以，pq的最大值為9．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解不等式問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．