Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx-2，x＞0}\\{-ln（-x），x＜0}\end{array}\right.$ 的圖象上有兩對(duì)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，+∞）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 求出x＞0時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)g（x）=lnx，由題意可得g（x）的圖象和y=kx-2（x＞0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．設(shè)出直線y=kx-2與y=g（x）相切的切點(diǎn)為（m，lnm），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)和k的值，由圖象即可得到所求范圍．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-ln（-x），
由f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得
g（x）=lnx（x＞0），
由題意可得g（x）的圖象和y=kx-2（x＞0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)直線y=kx-2與y=g（x）相切的切點(diǎn)為（m，lnm），
由g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$，
即有切線的斜率為$\frac{1}{m}$=k，
又lnm=km-2，解得m=$\frac{1}{e}$，k=e，
由圖象可得0＜k＜e時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圖象對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．