Question

1．以下說法正確的是（　�。�
①若x，y∈R，則“x=y“是“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“的充要條件．
②命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題
③“x²+2x≥ax在x∈[1，2]恒成立”?“對(duì)于x∈[1，2]，有（x²+2x）_min≥（ax）_max”
④命題“若a=-1，則函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題．

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①，當(dāng)“x=y“則“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“成立．當(dāng)“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“時(shí)，則（x-y）²≤0⇒x=y；
②，其逆否命題為：”x=2且y=1，則x+y=3“是真命題，原命題與逆否命題同為真；
③，a=2時(shí)，x²+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x²+2x）_min=3＜2x_max=4；
④，因?yàn)閍=0時(shí)，函數(shù)也只有一個(gè)零點(diǎn)．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)“x=y“則“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“成立．當(dāng)“$xy≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$“時(shí)，則（x-y）²≤0⇒x=y，故正確；
對(duì)于②，命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”的逆否命題為：”x=2且y=1，則x+y=3“是真命題，故原命題為真，故正確；
對(duì)于③，x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立不等價(jià)于（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立，
例a=2時(shí)，x²+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x²+2x）_min=3＜2x_max=4，∴故錯(cuò)；
對(duì)于④，原命題的逆命題為“若函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個(gè)零點(diǎn)，則a=-1“，因?yàn)閍=0時(shí)，函數(shù)也只有一個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，充分條件和必要條件的判斷以及函數(shù)最值的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．