Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+4ax+24a（a為實(shí)常數(shù)，且a＞1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求2a+

1

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＞0恒成立，即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）_min＞0恒成立，由此可求a的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．作差，可知g（a）在（1，6）上是增函數(shù)，從而可求2a+

1

a

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）．
因?yàn)閍＞1，所以2a＞2．
由f'（x）＞0，得x＜2，或x＞2a；由f'（x）＜0，得2＜x＜2a．
所以f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函數(shù)；在[2，2a]上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．
∴

a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0

，即

a＞1 - 4 3 a3+4a2+24a＞0 24a＞0

，∴1＜a＜6．
故a的取值范圍是（1，6）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．
令g(a)=2a+

1

a

，a∈(1，6)，設(shè)a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂則g(a1)-g(a2)=(2a1+

1

a1

)-(2a2+

1

a2

)=2(a1-a2)+(

1

a1

-

1

a2

)
=(a1-a2)(2-

1

a1a2

)=

(a1-a2)(2a1a2-1)

a1a2

．
∵a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂，
∴a₁-a₂＜0，a₁a₂＞0，2a₁a₂-1＞0．
∴g（a₁）-g（a₂）＜0，即g（a₁）＜g（a₂）．
∴g（a）在（1，6）上是增函數(shù)．
又因g(1)=3，g(6)=

73

6

，所以2a+

1

a

的取值范圍是(3，

73

6

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．