Question

已知：函數(shù)f（x）=sinx-cos²x+a．
（1）求函數(shù)f（x）的最值；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，方程f（x）=0在區(qū)間[0，2π）有兩解？
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得到f（x）═(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，然后，結(jié)合sinx∈[-1，1]進(jìn)行求解；
（2）換元法，得到t²+t+a-1=0在區(qū)間（-1，1）上有一解令g（t）=t²+t+a-1，從而有

g(1)＞0 g(-1)＜0

或△=0，然后，求解即可；
（3）結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間即可．

解答： 解（1）由f（x）=sinx-cos²x+a=sinx-（1-sin²x）+a=(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，
∵sinx∈[-1，1]，
所以當(dāng)sinx=1時(shí)f（x）_max=1+a，
當(dāng)sinx=-

1

2

時(shí)f(x)min=a-

5

4

∴函數(shù)f（x）的最大值為a+1，最小值為a-

5

4

．
（2）由f（x）=0，
∴sinx-cos²x+a=0，
∴sinx-（1-sin²x）+a=0，
令t=sinx，∵x∈[0，2π），
∴t∈[-1，1]，
要使方程f（x）=0在區(qū)間[0，2π）有兩解，
有t²+t+a-1=0在區(qū)間（-1，1）上有一解令g（t）=t²+t+a-1，
∴

g(1)＞0 g(-1)＜0

或△=0，
∴a∈（-1，1）或a=

5

4

∴a的取值范圍是(-1，1)∪{

5

4

}．
（3）由f（x）=sinx-cos²x+a
=sinx-（1-sin²x）+a
=(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，
令t=sinx，
∵x∈[0，2π]，
∴t∈[-1，1]，
∴y=(t+

1

2

)2-

5

4

+a在[-1，-

1

2

]上單調(diào)遞減，在[-

1

2

，1]上單調(diào)遞增
當(dāng)t∈[-1，-

1

2

]時(shí)，
x∈[

7π

6

，

11π

6

]，
而t=sinx在[

7π

6

，

3π

2

]上單調(diào)遞減，在[

3π

2

，

11π

6

]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈[

7π

6

，

3π

2

]時(shí)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)t∈[-

1

2

，1]時(shí)，
x∈[0，

7π

6

]∪[

11π

6

，2π] 而t=sinx在x∈[0，

π

2

]，x∈[

11π

6

，2π]時(shí)單調(diào)遞增，
∴f（x）在[0，

π

2

]，[

11π

6

，2π]上單調(diào)遞增．
綜上函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

2

]，[

7π

6

，

3π

2

]，[

11π

6

，2π]．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．