Question

已知點(diǎn)A（-

2

，0），B（

2

，0），且動點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2，則動點(diǎn)P的軌跡與直線y=k（x-2）有兩個交點(diǎn)的充要條件為k∈

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運(yùn)用雙曲線的定義判斷P的軌跡為A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，求出方程，聯(lián)立直線方程，消去y，得到二次方程，由條件可得該方程有兩個正根，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式，解不等式即可得到范圍．

解答： 解：由點(diǎn)A（-

2

，0），B（

2

，0），則|AB|=2

2

，
動點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2＜2

2

，
則由雙曲線的定義，可得P的軌跡為A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
且有c=

2

，a=1，b=

c2-a2

=1，
方程為x²-y²=1（x＞0），
聯(lián)立直線y=k（x-2），得到（1-k²）x²+4k²x-4k²-1=0，
由于動點(diǎn)P的軌跡與直線y=k（x-2）有兩個交點(diǎn)，
則該方程有兩個正根．
設(shè)交點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
判別式16k⁴+4（1-k²）（1+4k²）＞0，即為1+3k²＞0成立，
x₁+x₂=

-4k2

1-k2

＞0，x₁x₂=

-4k2-1

1-k2

＞0，
則由1-k²＜0，解得，k＞1或k＜-1．
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義和方程，考查直線和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．