Question

【題目】如圖所示，在四棱錐S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，

(1)求證：CD⊥平面SAD．

(2)若SA＝SD，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1) 先證明CD⊥AD，再證明CD⊥平面SAD；（2）存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，連接PC，DM交于點(diǎn)O，連接DN，PM，SP，NM，ND，NO，先證明NO⊥平面ABCD，即證平面DMN⊥平面ABCD.

(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD．

又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面SAD．

(2)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，使得平面DMN⊥平面ABCD．

證明如下：如圖，連接PC，DM交于點(diǎn)O，連接DN，PM，SP，NM，ND，NO，

因?yàn)镻D∥CM，且PD＝CM，

所以四邊形PMCD為平行四邊形，

所以PO＝CO．

又因?yàn)辄c(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，所以NO∥SP．

易知SP⊥AD，

因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，

所以SP⊥平面ABCD，

所以NO⊥平面ABCD．又因?yàn)镹O平面DMN，

所以平面DMN⊥平面ABCD．