Question

設A是三角形的內角，且sinA和cosA是關于x方程25x²-5ax-12a=0的兩個根．
（1）求a的值；
（2）求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程根與系數的關系可得

sinA+cosA= 1 5 a …(1) sinA•cosA=- 12 25 a…(2)

，把（1）式兩邊平方，花簡求得a的值．
（2）由

sinA+cosA= 1 5 sinA•cosA=- 12 25

，且sinA＞0，cosA＜0，求得cosA、sinA的值，即可求得tanA的值．

解答：解：（1）因為sinA和cosA是關于x方程25x²-5ax-12a=0的兩個根，所以由韋達定理得：

sinA+cosA= 1 5 a …(1) sinA•cosA=- 12 25 a…(2)

．
把（1）式兩邊平方，得sin2A+cos2A+2sinA•cosA=

1

25

a2，即 1-

24

25

a=

1

25

a2，解得a=-25，或a=1．
當∴a=-25時，不合題意，所以a=1．
（2）由

sinA+cosA= 1 5 a sinA•cosA=- 12 25 a

，可得

sinA+cosA= 1 5 sinA•cosA=- 12 25

．
再根據sinA＞0，cosA＜0，求得 sinA=

4

5

，cosA=-

3

5

，∴tanA=

sinA

cosA

=

4 5

- 3 5

=-

4

3

．

點評：本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，同角三角函數的基本關系，屬于基礎題．