Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x+2|-a）．
（Ⅰ）當a=7時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=7時，利用對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式，利用絕對值不等式轉(zhuǎn)化為：代數(shù)不等式即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）利用絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題設知：|x-1|+|x+2|＞7，
令x-1=0，x+2=0，解得x=1，x=-2，這就是兩個分界點．把全體實數(shù)分成3個區(qū)間．
不等式的解集是以下不等式組解集的并集：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+2＞7}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜1}\\{-x+1+x+2＞7}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-x+!-x-2＞7}\end{array}\right.$…（3分）
解得函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-4）∪（3，+∞）； …（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≥3即：|x-1|+|x+2|≥a+8，
∵x∈R時，恒有|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，…（8分）
∵不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，
∴a的取值范圍是：（-∞，-5]．…（10分）

點評 本題考查函數(shù)恒成立，絕對值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．