Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，x∈R
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（log_b（2t-t²））＞f（log_b（2-t））（b＞0且b≠1），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，求得實(shí)數(shù)a的值．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式可得當(dāng)x增大時，

2

2x+1

變小，a-

2

2x+1

變大，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）由f（log_b（2t-t²））＞f（log_b（2-t））以及f（x）在R上是增函數(shù)可得單調(diào)性可得log_b（2t-t²））＞log_b（2-t），分對數(shù)的底數(shù)大于1、和大于零小于1兩種情況，分別求得t的范圍．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，x∈R，若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則有f（0）=a-1=0，由此求得實(shí)數(shù)a=1．
（2）由于當(dāng)x增大時，

2

2x+1

變小，故a-

2

2x+1

變大，故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）若f（log_b（2t-t²））＞f（log_b（2-t）），則由f（x）在R上是增函數(shù)可得單調(diào)性可得log_b（2t-t²））＞log_b（2-t），
當(dāng)b＞1時，2t-t² ＞2-t，求得1＜t＜2，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，2），
當(dāng)0＜b＜1時，0＜2t-t² ＜2-t，求得1＜t＜2，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．