Question

定義在[-1，1]上的偶函數(shù)f（x），已知當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（I）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）利用偶函數(shù)的性質(zhì)即可得出；
（II）通過換元，分類討論利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，
∴f（-x）=

1

4-x

-

a

2-x

=4^x-a•2^x，
∴f（x）=f（-x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
（Ⅱ）∵f（x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
令t=2^x，t∈[1，2]，
∴g(t)=t2-a•t=(t-

a

2

)2-

a2

4

，
當(dāng)

a

2

≤

3

2

，即a≤3，g(t)max=g(2)=4-.2a，
當(dāng)

a

2

＞

3

2

，即a＞3時，g(t)max=g(1)=1-a，
綜上：當(dāng)a≤3時，f（x）最大值為4-2a；
當(dāng)a＞3時，．f（x）最大值為1-a．

點(diǎn)評：本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法、分類討論方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．