Question

如圖，AC為圓O的直徑，PC為圓O所在平面的垂線（C為垂足），B為半圓周上一點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，且PC=4，AB=BC=2．
（1）求證：平面ABP⊥平面BPC；
（2）求三棱錐A-MBC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AB⊥平面PBC，即可證明平面ABP⊥平面BPC；
（2）利用轉(zhuǎn)換底面，V_A-MBC=V_M-ABC，即可求出三棱錐A-MBC的體積．

解答： （1）證明：∵PC⊥平面ABC，
∴PC⊥AB…（1分）
∵AC為圓O的直徑，B為半圓周上一點(diǎn)
∴AB⊥BC…（2分）
又∵PC∩BC=C
∴AB⊥平面PBC，…（4分）
又AB?平面PAB
∴平面ABP⊥平面BPC…（6分）
（2）解：連結(jié)MO，則
∵PC⊥平面ABC
且M、O分別為AP、AC的中點(diǎn)，∴MO∥PC，且MO=

1

2

PC=2，
∴MO⊥平面ABC，…（8分）
∵AB⊥BC，∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2，
∴V_A-MBC=V_M-ABC=

1

3

×2×2=

4

3

，…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查三棱錐A-MBC的體積，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．