Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）是四邊形OABC（含邊界）內(nèi)的任意一點(diǎn)，其中O（0，0），A（0，1），B（1，2），C（3，0）．設(shè)向量

.

m

=（1，1），

.

n

=（2，1），若

.

OP

=λ

.

m

+μ

.

n

（λ，μ為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)λ=μ=

1

2

時(shí)，求|

.

OP

|；
（Ⅱ）求λ-μ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出向量OP的坐標(biāo)，由模的公式計(jì)算即可得到；
（Ⅱ）用x，y表示λ，μ，得到z=λ-μ=3y-2x，作出直線l₀：3y-2x=0，平移直線，觀察當(dāng)l₀經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），z取得最大值，當(dāng)l₀經(jīng)過點(diǎn)C（3，0），z取得最小值．計(jì)算即可得到所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)λ=μ=

1

2

時(shí)，

.

OP

=λ

.

m

+μ

.

n

=

1

2

（

m

+

n

）=（

3

2

，1），
則|

OP

|=

9 4 +1

=

13

2

；
（Ⅱ）

.

OP

=λ

.

m

+μ

.

n

=（λ+2μ，λ+μ），
則x=λ+2μ，y=λ+μ．
則有λ=2y-x，μ=x-y，
令z=λ-μ=3y-2x，
如圖陰影部分為P所在的區(qū)域，
作出直線l₀：3y-2x=0，
將直線l₀平移，
當(dāng)l₀經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），z取得最大值，且為3×2-2×1=4；
當(dāng)l₀經(jīng)過點(diǎn)C（3，0），z取得最小值，且為3×0-2×3=-6．
則λ-μ的取值范圍是[-6，4]．

點(diǎn)評：本題考查向量的模的公式的運(yùn)用，主要考查線性目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值求法，考查運(yùn)算能力，運(yùn)用平移法是解題的關(guān)鍵．