【題目】已知函數(shù)f(x)= (x>0).
(1)試判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(2)若f(x)> 恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(3)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3 .
【答案】
(1)解:∵f(x)= (x>0),
∴f′(x)= [ ]= [ ]
∵x>0,∴x2>0, ,ln(x+1)>0,∴f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)
(2)解:f(x)> 恒成立,即h(x)= >k恒成立,
即h(x)的最小值大于k.
而h′(x)= ,令g(x)=x﹣1﹣ln(x+1)(x>0),
則g′(x)= ,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又g(2)=1﹣ln3<0,g(3)=2﹣2ln2>0,
∴g(x)=0存在唯一實根a,且滿足a∈(2,3),a=1+ln(a+1)
當x>a時,g(x)>0,h′(x)>0,當0<x<a時,g(x)<0,h′(x)<0,
∴h(x)min=h(a)= =a+1∈(3,4)
故正整數(shù)k的最大值是3
(3)解:由(Ⅱ)知 (x>0)
∴l(xiāng)n(x+1)> ﹣1=2﹣ >2﹣
令x=n(n+1)(n∈N*),則ln[1+n(n+1)]>2﹣ ,
∴l(xiāng)n(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
>(2﹣ )+(2﹣ )+…+[2﹣ ]
=2n﹣3[ ]
=2n﹣3(1﹣ )=2n﹣3+ >2n﹣3
∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3
【解析】(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù),可判f′(x)<0,進而可得單調(diào)性;(2)問題轉(zhuǎn)化為h(x)= >k恒成立,通過構(gòu)造函數(shù)可得h(x)min∈(3,4),進而可得k值;(3)由(Ⅱ)知 (x>0),可得ln(x+1)>2﹣ ,令x=n(n+1)(n∈N*),一系列式子相加,由裂項相消法可得ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2n﹣3,進而可得答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1C1C是菱形,側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C,A1B=AB=AA1=2,△AA1C1的面積為 ,且∠AA1C1為銳角.
(I) 求證:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的焦距為 ,且過點 ,設(shè) , 是 上的兩個動點,線段 的中點 的橫坐標為 ,線段 的中垂線交橢圓 于 , 兩點.
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè)點縱坐標為m,求直線的方程,并求出 的取值范圍.
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【題目】已知a>0,且a≠1,函數(shù) ,設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M,最小值為N,則( )
A.M+N=8
B.M+N=10
C.M﹣N=8
D.M﹣N=10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,cos2C+2 cosC+2=0.
(1)求角C的大;
(2)若b= a,△ABC的面積為 sinAsinB,求sinA及c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知m>0,p:(x+2)(x-6)≤0,q:2-m≤x≤2+m.
(1)若p是q成立的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若是 成立的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),把函數(shù)的偶數(shù)零點按從小到大的順序排成一個數(shù)列,該數(shù)列的前10項的和等于( )
A. 45 B. 55 C. 90 D. 110
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【題目】若直角坐標平面內(nèi)兩點P,Q滿足條件:①P、Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P、Q關(guān)于原點對稱,則對稱點(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一個“伙伴點組”(點對(P,Q)與(Q,P)看作同一個“伙伴點組”).則下列函數(shù)中,恰有兩個“伙伴點組”的函數(shù)是(填空寫所有正確選項的序號)
①y= ;②y= ;③y= ;④y= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)fn(x)=﹣xn+3ax(a∈R,n∈N+),若對任意的x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f3(x1)﹣f3(x2)|≤1,則a的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ , ]
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