Question

2．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n=2a_n-1+1；
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{b_n}中，b₁=1，n≥2時，b_n-b_n-1=a_n，求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，可得a_n+1=2（a_n-1+1），結(jié)合a₁+1=2≠0，可得數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）由（1）求出${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入b_n-b_n-1=a_n，然后利用累加法求得數(shù)列{b_n}的通項公式b_n．

解答 （1）證明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），得
a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁+1=2≠0，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$（n≥2），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）得，${a}_{n}+1={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入b_n-b_n-1=a_n，
得b_n-b_n-1=2ⁿ-1（n≥2），
∴$_{2}-_{1}={2}^{2}-1$，$_{3}-_{2}={2}^{3}-1$，$_{4}-_{3}={2}^{3}-1$，…，b_n-b_n-1=2ⁿ-1（n≥2），
累加得：$_{n}-_{1}={2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-（n-1）$=$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（n-1）={2}^{n+1}-n-3$，
∴$_{n}={2}^{n+1}-n-2$（n≥2）．
驗證n=1時上式成立，
∴$_{n}={2}^{n+1}-n-2$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．