Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₄=4（a₃-a₂），數(shù)列{b_n}滿足b_n=1+2log₂a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{n}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{n-2}}$…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{n}}{{a}_{1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=1，a₄=4（a₃-a₂），
∴q³=4（q²-q），化為：q²-4q+4=0，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
數(shù)列{b_n}滿足b_n=1+2log₂a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{n}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{n-2}}$…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{2n-3}{2}$+2n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2}（2n-1）$，
可得：-$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2$（\frac{1}{{2}^{n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}+…+\frac{1}{2}）$-（2n-1）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）=3-2n-$\frac{3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{6}{{2}^{n}}$+4n-6．

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．