Question

14．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，n∈N^*
（1）證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}和{b_n}通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過將a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹兩邊同時除以2ⁿ⁺¹可知數(shù)列{b_n}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）、利用等差數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
又∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，
∴b_n=n，a_n=n•2ⁿ；
（2）解：由（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．