Question

14．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，n∈N^*
（1）證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）、利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
又∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
∴b_n=n，a_n=n•2ⁿ；
（2）解：由（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．