Question

7．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱長都是底面邊長的$\sqrt{2}$倍，P為側棱SD上的點．
（1）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大��；
（2）側棱SC上是否存在一點E，使得BE⊥SD，若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結BD，交AC于點O，連結OP，設SD的中點為Q，連結BQ，△SBD為等邊三角形，推導出∠POD是二面角P-AC-D的平面角，求解直角三角形即可求出二面角P-AC-D的大小；
（2）在平面SCD內作QE∥CP，則QE∥面PAC，再由BQ∥面PAC，可得面EBQ∥面PAC，由此能得BE∥平面PAC，結合（1）中SD⊥平面PAC，可得BE⊥SD，進一步得到SE：EC=2：1．

解答 解：（1）由題意可知，四棱錐S-ABCD為正四棱錐．
連接BD交AC于O，連接OP，
∵SD⊥平面PAC，∴PD⊥AP，PD⊥PC，
在Rt△APD與Rt△CPD中，由AD=CD，PD=PD，可得Rt△APD≌Rt△CPD，
∴PA=PC，則PO⊥AC，又OD⊥AC，
∴∠POD為二面角P-AC-D的平面角．
設SD的中點為Q，
連結BQ，△SBD為等邊三角形，∴BQ⊥SD，
∴P為QD的中點，∴P為SD的四等分點，
PD=$\frac{1}{4}$SD，OD=$\frac{1}{2}$BD，
sin∠POD=$\frac{PD}{OD}=\frac{\frac{1}{4}SD}{\frac{1}{2}BD}=\frac{1}{2}$，
由圖可知二面角P-AC-D為銳二面角，
∴二面角P-AC-D的大小為30°；
（2）存在點E且SE：EC=2：1，使得BE⊥SD．
證明如下：
在平面SCD內作QE∥CP，∴QE∥面PAC，
又BQ∥OP，∴BQ∥面PAC，
又QE∩BQ=Q，∴面EBQ∥面PAC，
∵BE?面EBQ，∴BE∥面PAC，
由（1）知SD⊥平面PAC，∴BE⊥SD，
此時SE：EC=SQ：QP=2：1．

點評 本題考查二面角的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想方法和轉化化歸思想方法，是中檔題．