Question

若x，y滿足約束條件

5x+y≥5 x+y≤4 y-ex≥0

，則

y

x

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)k=

y

x

，利用k的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)k=

y

x

，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
由圖象可知當(dāng)直線y=kx與y=e^x相切時(shí)，斜率k最小，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，斜率k最大．
由

5x+y=5 x+y=4

，解得

x= 1 4 y= 15 4

，即A（

1

4

，

15

4

），此時(shí)k=

15 4

1 4

=15．
設(shè)直線y=kx與y=e^x相切與點(diǎn)（a，e^a），
則f′（x）=e^x，則切線斜率k=f′（a）=e^a，
則切線方程為y-e^a=e^a（x-a），
∵切線過原點(diǎn)，
∴-e^a=-ae^a，解得a=1，此時(shí)切點(diǎn)為（1，e），
故此時(shí)切線斜率k=f′（1）=e，
故e≤

y

x

≤15，
即e≤k≤15，
故答案為：[e，15]

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．