Question

16．如圖，已知m，n是異面直線，點A，B∈m，且AB=6，點C，D∈n，且CD=4，若M，N分別是AC，BD的中點，MN=2$\sqrt{2}$，則m與n所成角的余弦值是$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$），由已知條件推導出cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$＞=-$\frac{5}{12}$，由此能求出異面直線m與n所成角的余弦值．

解答 解：∵m，n是異面直線，點A，B∈m，且AB=6，點C，D∈n，且CD=4，
M，N分別是AC，BD的中點，MN=2$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$），
∴${\overrightarrow{MN}}^{2}$=[$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}）$]²=$\frac{1}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{CD}}^{2}$+2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{CD}$|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$＞，
∴（2$\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{4}×（36+16+2×6×4cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}＞）$，
解得cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$＞=-$\frac{5}{12}$，
∴異面直線m與n所成角的余弦值為$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查利用空間向量知識求異面直線所成角、考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力．