Question

1．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ（其中a∈R）展開式中有且只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中的常數(shù)是180，求a的值．

Answer 1

分析 如果n是奇數(shù)，那么是中間兩項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，如果n是偶數(shù)，那么是最中間那項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，由此可確定n的值，進(jìn)而利用展開式，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)，即可求出a的值．

解答 解：如果n是奇數(shù)，那么是中間兩項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)相等且最大，如果n是偶數(shù)，那么中間項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大．
∵（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ（其中a∈R）展開式中有且只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴n=10，
∴（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）¹⁰其的通項(xiàng)為C₁₀^ra^r${x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
令10-5r=0，
解得r=2，
∴C₁₀²a²=180，
解得a=±2．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．