如圖,已知圓E:,點(diǎn),P是圓E上任意一點(diǎn).線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(1)求動點(diǎn)Q的軌跡的方程;
(2)已知A,B,C是軌跡的三個動點(diǎn),A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱,且,問△ABC的面積是否存在最小值?若存在,求出此時點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(1);(2)存在最小值.點(diǎn)C的坐標(biāo)為,,,
【解析】
試題分析:(1)連結(jié)QF,由于線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,根據(jù)橢圓的定義知,動點(diǎn)Q的軌跡是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.由此便可得其方程;(2)首先考慮直線AB的斜率為0或斜率不存在的情況,此時易得.當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時,設(shè)斜率為k,則直線AB的直線方程為,將△ABC的面積用含k的式子表示出來,然后利用重要不等式求其最小值.
(1)連結(jié)QF,根據(jù)題意,|QP|=|QF|,則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,
故動點(diǎn)Q的軌跡是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓. 2分
設(shè)其方程為,可知,,則, 3分
所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為為. 4分
(2)存在最小值. 5分
(。┊(dāng)AB為長軸(或短軸)時,可知點(diǎn)C就是橢圓的上、下頂點(diǎn)(或左、右頂點(diǎn)),則. 6分
(ⅱ)方法一、當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時,設(shè)斜率為k,則直線AB的直線方程為,設(shè)點(diǎn),
聯(lián)立方程組消去y得,,
由,知△ABC是等腰三角形,O為AB的中點(diǎn),則OC⊥AB,可知直線OC的方程為,同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足,,則,, 8分
則. 9分
由于,
所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.
綜合(。áⅲ,當(dāng)時,△ABC的面積取最小值, 11分
此時,,即,,
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為,,,. 13分
方法二、前同(。,記,則,所以,
故,
當(dāng),即時,有最大值,此時取得最小值.
綜合(。áⅲ,當(dāng)時,△ABC的面積取得最小值. 11分
此時,,即,,
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為,,,. 13分
方法三、設(shè),,根據(jù)A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,
則,所以,
由,知△ABC是等腰三角形,O為AB的中點(diǎn),則OC⊥AB,,,
由, ①
且點(diǎn)C在橢圓上,則 ②
聯(lián)立①②,解得,,所以, 8分
所以, 9分
又,即,所以,
記,,,
則,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,
綜合(。áⅲ,當(dāng)時,有最小值. 11分
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為,,,. 13分
考點(diǎn):1、橢圓的方程;2、直線與橢圓的關(guān)系;3、最值問題.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年天津市南開區(qū)高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知a,bR,2a2-b2=1,則|2a-b|的最小值為 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三下學(xué)期3月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線:()的離心率為,則的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三下學(xué)期3月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
的值是____________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三下學(xué)期3月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
的右焦點(diǎn)到直線的距離是( )
(A) (B)
(C) (D)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省資陽市高三下學(xué)期4月高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)表示不超過的最大整數(shù),如,.給出下列命題:
①對任意實(shí)數(shù),都有;
②對任意實(shí)數(shù),y,都有;
③;
④若函數(shù),當(dāng)時,令的值域?yàn)锳,記集合A的元素個數(shù)為,則的最小值為.
其中所有真命題的序號是_________________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省資陽市高三下學(xué)期4月高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知實(shí)數(shù),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出x的值不小于55的概率為( )
(A) (B) (C) (D)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省資陽市高三下學(xué)期4月高考模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
在Rt△ABC中,,,,則_____.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三二診模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為__________個.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com