Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x+2ax．
（l）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為0，求a的值；
（3）若對于任意x≥0，f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 本題屬于導數(shù)綜合題，屬難題．（1）對a分類討論，判斷f'（x）是否存在零點．若存在零點，根據(jù)f'（x）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)第1題的分類討論情況，判斷f（x）的最小值點；然后根據(jù)f（x）_min=0，求出a的值；
（3）此題屬于導數(shù)恒成立問題，通常采購構造新函數(shù)來求解．

解答 解：（1）當a≥0時，函數(shù)f'（x）=e^x+2a＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當 a＜0 時，f'（x）=e^x+2a，
令 e^x+2a=0，得x=ln（-2a），
所以，當x∈（-∞，ln（-2a））時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當x∈（ln（-2a），+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（2）由（1）可知，當a≥0時，函數(shù)f（x）=e^x+2ax＞0，不符合題意．
當a＜0時，f'（x）=e^x+2a，
因為，當x∈（-∞，ln（-2a））時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當x∈（ln（-2a），+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
①當ln（-2a）≤1，即$-\frac{e}{2}$≤a＜0時，f（x）最小值為f（1）=2a+e．
解2a+e=0，得a=-$\frac{e}{2}$，符合題意．
②當ln（-2a）＞1，即a＜-$\frac{e}{2}$時，f（x）最小值為f（ln（-2a））=-2a+2aln（-2a）．
解-2a+2aln（-2a）=0，得a=-$\frac{e}{2}$，不符合題意．
綜上，a=-$\frac{e}{2}$．
（3）構建新函數(shù)g（x）=e^x-e^-x+2ax，g'（x）=e^x+e^-x+2a，
①當 2a≥-2，即 a≥-1時，
因為 e^x+e^-x≥2，所以g'（x）≥0（且a=-1時，僅當x=0時，g'（x）=0）
所以g（x）在R上單調(diào)遞增．
又g（0）=0，所以當a≥-1時，對于任意x≥0都有g（x）≥0．
②當a＜-1時，解e^x+e^-x+2a＜0，即（e^x）²+2ae^x+1＜0，
得-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$＜e^x＜$-a+\sqrt{{a}^{2}-1}$，
其中0＜-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$＜1，-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$＞1
所以ln（-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$）＜x＜ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$），
且ln（-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$）＜0，ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$）＞0，
所以g（x）在（0，ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$））上單調(diào)遞減，
又g（0）=0，所以存在x₀∈（0，ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$）），使得g（x₀）＜0，不符合題意．
綜上，a的取值范圍為[-1，+∞）．

點評 本題屬于導數(shù)綜合題，考查利用導函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)極值點，分類討論思想，構造新函數(shù)，屬難題．此類題型重點考查函數(shù)分類討論思想與導數(shù)基本知識點，考生應當熟練掌握．