Question

5．已知點(diǎn)P，A，B，C，D都是直徑為4的球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，若PA=2，則幾何體P-ABCD的體積為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 可將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑（球O為該長(zhǎng)方體的外接球），于是可求得PC的長(zhǎng)度，進(jìn)一步可求出底面邊長(zhǎng)，從而求幾何體P-ABCD的體積．

解答 解：依題意，可將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，
則球O為該長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑．
設(shè)ABCD是邊長(zhǎng)為a，PA⊥平面ABCD，PA=2，
∴PC²=AP²+2AB²=4+2a²=4²，
∴a²=8，
則幾何體P-ABCD的體積為V=$\frac{1}{3}$×a2×PA=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查球內(nèi)接多面體的應(yīng)用，“補(bǔ)形”是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．