Question

2．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{k}{2}{x^2}$（k＞0），
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)k≠1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，即可得出；
（II）$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$，x∈（-1，+∞），通過對k分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=ln（1+x）-x+x²，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1+2x$，
由于f（1）=ln2，$f'（1）=\frac{3}{2}$，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為 $y-ln2=\frac{3}{2}（x-1）$，即 3x-2y+2ln2-3=0．
（II）$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$，x∈（-1，+∞）
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，由$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}=0$，得x₁=0，${x_2}=\frac{1-k}{k}＞0$，
∴在（-1，0）和$（\frac{1-k}{k}，+∞）$上f'（x）＞0；在$（0，\frac{1-k}{k}）$上f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，0）和$（\frac{1-k}{k}，+∞）$單調(diào)遞增，在$（0，\frac{1-k}{k}）$單調(diào)遞減．
當(dāng)k＞1時(shí)，$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}=0$，得${x_1}=\frac{1-k}{k}∈（-1，0）$，x₂=0．
∴在$（-1，\frac{1-k}{k}）$和（0，+∞）上f'（x）＞0；在$（\frac{1-k}{k}，0）$上f'（x）＜0，
故f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是$（-1，\frac{1-k}{k}）$和（0，+∞），減區(qū)間是$（\frac{1-k}{k}，0）$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，考查了推理能力方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．