Question

14．若函數f（x）=$\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}$x+m在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值為3，求常數m的值及此函數當x∈[a，a+π]（其中a可取任意實數）時的最大值．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得常數m的值及此函數當x∈[a，a+π]（其中a可取任意實數）時的最大值．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}$x+m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，故函數的最小值為-1+m+1=3，求得m=3，
此函數當x∈[a，a+π]（其中a可取任意實數）時，由于函數y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4的周期為π，
故此函數的最大值為6．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．