Question

【題目】在如圖的空間幾何體中，四邊形為直角梯形，，，，且平面平面，為棱中點.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點為，連接和，先證明四邊形為平行四邊形，可得.由題意得，則，即得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，用向量的方法求解.

（1）證明：取中點為，連接和，如圖所示

因為，且，

又因為，且，

故，且，

即四邊形為平行四邊形，故，

，為中點，；

又，.

（2）平面平面，平面平面，

平面，

又平面，.

由（1）知，平面，

平面，而平面，，

，.

取中點連接和，四邊形為直角梯形，則，

平面，

平面，又平面，平面，故，

，

分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立直角坐標系，如圖所示

，

則，，，，

故，，，

易知平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，則

，即，令，

.

設二面角的為，則

，

.

二面角的正弦值為.