Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)x的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡函數(shù)f（x），再由正弦函數(shù)的周期和單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到．
（Ⅱ）由x的范圍，可得2x-2x+$\frac{π}{4}$的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=sin2x+2cos²x+1
=sin2x+cos2x+2=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
則有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
則有sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
則當x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值，且為1，
當x=$\frac{π}{8}$時，f（x）取得最大值，且為$\sqrt{2}$+2．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．