Question

17．設（x）=|xe^x|，若關于x的方程（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{1}{e+1}$）
• C． （$\frac{e}{{e}^{2}+1}$，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=|xe^x|是分段函數(shù)，通過求導分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當x=-1時有一個最大值 $\frac{1}{e}$，所以，由（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0，可得f（x）=2或f（x）=$\frac{t}{1-t}$，要使方程（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0有四個實數(shù)根，可得0＜$\frac{t}{1-t}$＜$\frac{1}{e}$，即可求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
當x≥0時，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當x＜0時，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當x∈（-1，0）時，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=$\frac{1}{e}$，
由（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0，可得f（x）=2或f（x）=$\frac{t}{1-t}$
所以0＜$\frac{t}{1-t}$＜$\frac{1}{e}$，
所以0＜t＜$\frac{1}{1+e}$，
所以，使得關于x的方程（1-t）f²（x）-f（x）+t=0有四個不同的實數(shù)根的t的取值范圍（0，$\frac{1}{1+e}$），
故選：B．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導函數(shù)分析函數(shù)的單調性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關鍵是分析出方程（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0有四個實數(shù)根時f（x）的取值情況，此題屬于中高檔題．