Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）求f（x）的極值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=

x-a

x

，x＞0．由此根據(jù)a的范圍分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．
（2）由a的范圍分討論，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-alnx（a∈R），
∴f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x＞0．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，沒(méi)有極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=a，
∵x∈（0，a）時(shí)，f′（x）0．
∴f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）-a-alna，無(wú)極大值，
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a-alna，無(wú)極大值．
（2）由（1）知：
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=1；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=a，
∵x∈（0，a）時(shí)，f′（x）0．
∴f（x）在x=a處取得極小值，
（i）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（1）=1，f（2）=2-aln2，
f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=1；
（ii）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（a）=a-alna；
（iii）當(dāng)a≥2時(shí)，f（1）=1，f（2）=2-aln2，
f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=2-aln2．
∴f（x）在[1，2]上的最小值：
f（x）_min=

1，a≤1 a-alna，1＜a＜2 2-aln2，a≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)的最小值的求法，是解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．