Question

9．設(shè)A、B是直線3x+4y+3=0與圓x²+y²+4y=0的兩個交點，則線段AB的垂直平分線的方程是4x-3y-6=0，弦長|AB|為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根根線段AB的垂直平分線過圓的圓心，且和直線AB垂直，求出圓心坐標(biāo)和直線的斜率即可得到線段AB的垂直平分線的方程，求出圓心到直線AB的距離d，利用勾股定理，求出弦長|AB|．

解答 解：∵A、B是直線3x+4y+3=0與圓x²+y²+4y=0的兩個交點，
∴線段AB的垂直平分線過圓的圓心，且和直線AB垂直，
則垂直平方線的斜率k=$\frac{4}{3}$，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x²+（y+2）²=4，
則圓心坐標(biāo)為（0，-2），半徑R=2，
則垂直平分線的方程為y+2=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y-6=0，
圓心到直線AB的距離d=$\frac{|0-8+3|}{\sqrt{9+16}}$=1，∴|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：4x-3y-6=0，2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用AB垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．