Question

3．函數(shù)f（x）=axⁿ（1-x）（x＞0，n∈N^*），當(dāng)n=-2時(shí)，f（x）的極大值為$\frac{4}{27}$．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）-m=0有兩個(gè)正實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對(duì)數(shù)，根據(jù)n=2時(shí)，f（x）的極大值為$\frac{4}{27}$，得到f（$\frac{2}{3}$）=a•$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，解出即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的值域，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）n=2時(shí)，f（x）=ax²（1-x），
∴f′（x）=ax（2-3x），
令f′（x）=0得：x=0或x=$\frac{2}{3}$，
∵n=2時(shí)，f（x）的極大值為$\frac{4}{27}$，
故a＞0，且f（$\frac{2}{3}$）=a•$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，解得：a=1；
（2）∵f（x）=xⁿ（1-x），
∴f′（x）=nx^n-1-（n+1）xⁿ=（n+1）x^n-1（$\frac{n}{n+1}$-x），
顯然，f（x）在x=$\frac{n}{n+1}$處取得最大值，
f（$\frac{n}{n+1}$）=$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$，
∴f（x）的值域是（0，$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$），
若方程f（x）-m=0有兩個(gè)正實(shí)根，
只需0＜m＜$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$即可．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．