4.△ABC中,若對(duì)任意t∈R均有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|成立,則( 。
A.$\frac{π}{6}$≤A≤$\frac{5π}{6}$B.$\frac{π}{6}$≤A$≤\frac{π}{2}$C.$\frac{π}{6}$≤B$≤\frac{5π}{6}$D.$\frac{π}{6}$≤B$<\frac{π}{2}$

分析 則根據(jù)平面向量減法的幾何意義,由|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|對(duì)任意t都成立|,從而得出角A的大小.

解答 解:△ABC中,對(duì)任意的t,滿足|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|成立,
不妨取t=1,則|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|成立,
即|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|>$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|,
∴cosA=$\frac{{AB}^{2}{+AC}^{2}{-BC}^{2}}{2AB•AC}$≤$\frac{{\frac{3}{4}AB}^{2}{+AC}^{2}}{2AB•AC}$
又$\frac{3}{4}$AB2+AC2≥2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB•AC
∴cosA≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
又cosA≥-$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{π}{6}$≤A≤$\frac{5π}{6}$.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|,是難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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