Question

6．已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=-2，求b，c．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理將邊化角整理條件式子，即可得出tanA；
（2）由$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=-2得bc=4，代入余弦定理得出b，c的關系式，聯(lián)立方程組解出．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC．
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∵sinC≠0，∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1．兩邊平方得：2sin²A-2$\sqrt{3}$sinAcosA+1=1，
∴sinA=$\sqrt{3}$cosA，即tanA=$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{AC}$=-2，∴bccosA=2，即bc=4．
∵cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-4}{8}$=$\frac{1}{2}$，∴b²+c²=8，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{bc=4}\\{^{2}+{c}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得b=c=2．

點評 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題．