(本小題滿分14分)
已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P在對角線A1C1上,記二面角P-AB-C為α,二面角P-BC-A為β。

(1)當A1P:PC1=1:3時,求cos(α+β)的大小。
(2)點P是線段A1C1(包括端點)上的一個動點,問:當點P在什么位置時,α+β有最小值?

(1)- (2)P為A1C1的中點

解析試題分析: 
作PO⊥面ABCD于O,作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F
∵正方體ABCD-A1B1C1D1
∴點O在線段AC上,且AO:OC=1:3
∴α=∠PEO,β=∠PFO       
EO=,F(xiàn)O=,PO=1,PE=,PF=        2分
cosα=,sinα=,cosβ=, sinβ=
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ==-   4分
(2)(8分)
設(shè)A1P=kA1C1,k∈[0,1]                                5分
由第(1)題可知α=∠PEO,β=∠PFO
EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF=  
cosα=,sinα=,cosβ=,
sinβ=                   7分
當k=0或1時,即點P與A1或C1重合時,其中一個角為,另一個角為
此時α+β=,tan(α+β)= -1                                        8分
∴當k≠0,且k≠1時,tanα=,tanβ=zxxk
∴tan(α+β)
=       11分
∵k∈(0,1)   ∴     ∴tan(α+β)∈  
         ∴
∴tan(α+β)=時,α+β有最小值,此時k=時,即點P為A1C1的中點。  14分
考點:二面角的求法
點評:本題有一定難度,多章節(jié)知識的綜合

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(2)求點A到平面PBC的距離.
 

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