Question

18．以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．例如，當φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx時，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．現(xiàn)有如下命題：
①設函數(shù)f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；
③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）∉B
④若函數(shù)$f（x）=aln（{x+2}）+\frac{x}{{{x^2}+1}}（{x＞-2，a∈R}）$有最大值，則f（x）∈B．其中的真命題為（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)題中的新定義，結合函數(shù)值域的概念，從而得到本題的結論

解答 解：①“f（x）∈A”即函數(shù)f（x）值域為R，
“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，
故有：設函數(shù)f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”
∴命題①是真命題； 
 ②若函數(shù)f（x）∈B，即存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)f（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函數(shù)f（x）滿足-2＜f（x）＜5，則有-5≤f（x）≤5，此時，f（x）無最大值，無最小值．
∴命題②“若函數(shù)f（x）∈B，則f（x）有最大值和最小值．”是假命題； 
 ③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
則f（x）值域為R，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一個正數(shù)M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
則f（x）+g（x）∉B．
∴命題③是真命題．
④∵函數(shù)f（x）=aln（x+2）+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2，a∈R）有最大值，
∴假設a＞0，當x→+∞時，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→0，ln（x+2）→+∞，
∴aln（x+2）→+∞，則f（x）→+∞．與題意不符； 
  假設a＜0，當x→-2時，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→$-\frac{2}{5}$，ln（x+2）→-∞，
∴aln（x+2）→+∞，則f（x）→+∞．與題意不符．
∴a=0．
即函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2）
當x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2，∴0$＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2}$，即 0＜f（x）≤$\frac{1}{2}$； 
當x=0時，f（x）=0； 
當x＜0時，x+$\frac{1}{x}$≤-2，∴-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$＜0，即-$\frac{1}{2}$≤f（x）＜0．
∴-$\frac{1}{2}$≤f（x）＜$\frac{1}{2}$..即f（x）∈B．
故命題④是真命題．
故選：D

點評 本題考查了函數(shù)值域的概念、基本不等式、充要條件，還考查了新定義概念的應用和極限思想．本題計算量較大，也有一定的思維難度，屬于難題．