Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作兩條不同直線，其中直線關(guān)于直線對(duì)稱.

（Ⅰ）求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）設(shè)直線分別交拋物線于兩點(diǎn)（均不與重合），若以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；準(zhǔn)線方程為 ；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）將點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程求出，于是可得曲線方程．（Ⅱ）方法一：由題意設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切可求得點(diǎn)中的參數(shù)，進(jìn)而可得所求方程．方法二：由題意得與的傾斜角互補(bǔ)，由此可得，于是可設(shè)直線的方程為，與曲線方程聯(lián)立消元后再根據(jù)題意求得參數(shù)，進(jìn)而得到直線方程．

（Ⅰ）∵拋物線過(guò)點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為．

（Ⅱ）方法一：不妨設(shè)在的左邊，從而可設(shè)直線的方程為，即，

由消去整理得．

設(shè)，

則，故，

∴，

∴點(diǎn)．

又由條件得與的傾斜角互補(bǔ)，以代替點(diǎn)坐標(biāo)中的，

可得點(diǎn)．

∴，且中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∵以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，

∴，解得

∴，，

∴，

∴直線的方程為，即．

方法二：設(shè)，

因?yàn)橹本�關(guān)于對(duì)稱，所以與的傾斜角互補(bǔ)，

所以，

所以，

所以．

設(shè)直線的方程為，

由消去去整理得，

所以，

所以，且中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，

所以，

即，解得，

所以直線的方程為，即．