Question

目前，埃博拉病毒在西非并逐漸蔓延，研究人員將埃博拉的傳播途徑結(jié)合飛機(jī)航班數(shù)據(jù)，埃博拉的潛伏時(shí)間等因素，計(jì)算出不限飛情況下，亞洲國(guó)家中印度、中國(guó)、阿聯(lián)酋、黎巴嫩在一個(gè)月后出現(xiàn)輸入性病例的概率分別是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出現(xiàn)輸入性病例是彼此獨(dú)立的．
（1）求上述四國(guó)中恰有1個(gè)國(guó)家出現(xiàn)輸入性病例的概率；
（2）從上述四國(guó)中任選兩國(guó)調(diào)研疫情，求恰有一國(guó)選在西亞（阿聯(lián)酋、黎巴嫩），一國(guó)選在中國(guó)和印度的概率；
（3）專家組擬按下面步驟進(jìn)行疫情調(diào)研，每一步若出現(xiàn)輸入性病例，若出現(xiàn)則留下來(lái)研究，不在進(jìn)行下一步調(diào)研；
第一步，一次性選中國(guó)和印度兩個(gè)國(guó)家同時(shí)進(jìn)行調(diào)研；
第二步，在阿聯(lián)酋和黎巴嫩兩個(gè)國(guó)家中隨機(jī)抽取1個(gè)國(guó)家進(jìn)行調(diào)研
第三步，對(duì)剩下的一個(gè)國(guó)家進(jìn)行調(diào)研．
求該專家組調(diào)研國(guó)家個(gè)數(shù)的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）四國(guó)中恰有1個(gè)國(guó)家出現(xiàn)輸入性病例共有四種情況：選出一個(gè)國(guó)家出現(xiàn)輸入性病例而另外三個(gè)國(guó)家沒(méi)有出現(xiàn)輸入性病例，利用相互獨(dú)立和互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出；
（2）恰有一國(guó)選在西亞（阿聯(lián)酋、黎巴嫩）有

∁

1 2

種情況，一國(guó)選在中國(guó)和印度有

∁

1 2

中情況，因此共有

∁

1 2

∁

1 2

種，而基本事件的總數(shù)為

∁

2 6

，利用古典概率的概率計(jì)算公式即可得出．
（3）利用相互獨(dú)立和相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得第一步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1-（1-0.1）×（1-0.2）；同理可得：若第一步?jīng)]有出現(xiàn)輸入性病例而第二步出現(xiàn)輸入性病例的概率=（1-0.1）×（1-0.2）×0.2×2；若第一步及第二不沒(méi)有出現(xiàn)輸入性病例而第三步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1-0.28-
0.288．

解答： 解：（1）P=0.1×（1-0.2）³+（1-0.1）×0.2×（1-0.2）²×3=0.4096．
（2）P=

∁ 1 2 × ∁ 1 2

∁ 2 4

=

2

3

．
（3）第一步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1-（1-0.1）×（1-0.2）=0.28；
若第一步?jīng)]有出現(xiàn)輸入性病例而第二步出現(xiàn)輸入性病例的概率=（1-0.1）×（1-0.2）×0.2×2=0.288．
若第一步及第二不沒(méi)有出現(xiàn)輸入性病例而第三步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1-0.28-0.288=0.432．
列出表格：

ξ	2	3	4
P（ξ）	0.28	0.288	0.432

∴E（ξ）=2×0.28+3×0.288+4×0.432=3.142．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相互獨(dú)立、對(duì)立和互斥事件的概率計(jì)算公式、古典概率的計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算，查看了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．