Question

17．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知bcosB是acosC與ccosA的等差中項．
（1）確定角B的大小；
（2）若$b=\sqrt{3}$，且△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2bcosB=acosC+ccosA，結(jié)合正弦定理和三角函數(shù)公式可得cosB=$\frac{1}{2}$，由三角形內(nèi)角的范圍可得B值．
（2）由已知利用三角形面積公式可求ac，利用余弦定理及平方和公式即可計算a+c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵bcosB是acosC，ccosA的等差中項，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）=sinB，
又∵sinB＞0，上式兩邊同除以sinB可得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$b=\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，①
又∵△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$a×$c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ac=3，②
∴由①②聯(lián)立可得：a+c=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．