Question

14．某水果商場(chǎng)對(duì)新產(chǎn)蘋(píng)果的總體狀況做了一個(gè)評(píng)估，主要從色澤，重量，有無(wú)班痕，含糖量等幾個(gè)方面評(píng)分，滿10分為優(yōu)質(zhì)蘋(píng)果，評(píng)分7分以下的蘋(píng)果為普通蘋(píng)果，評(píng)分4分以下為劣質(zhì)蘋(píng)果，不予收購(gòu)．大部分蘋(píng)果的評(píng)分在7～10分之間，該商場(chǎng)技術(shù)員對(duì)某蘋(píng)果供應(yīng)商的蘋(píng)果隨機(jī)抽取了16個(gè)蘋(píng)果進(jìn)行評(píng)分，以下表格記錄了16個(gè)蘋(píng)果的評(píng)分情況：

分?jǐn)?shù)段	[0，7）	[7，8）	[8，9）	[9，10]
個(gè)數(shù)	1	3	8	4

（Ⅰ）現(xiàn)從16個(gè)蘋(píng)果中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至少有1個(gè)評(píng)分不低于9分的概率；
（Ⅱ）以這16個(gè)蘋(píng)果所得的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)本年度的總體數(shù)據(jù)，若從本年度新蘋(píng)果中任意選3個(gè)記X表示抽到評(píng)分不低于9分的蘋(píng)果個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由事件的總個(gè)數(shù)為${C}_{16}^{3}$，由題意可知：評(píng)分不低于9分的概率P（A）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$，即利用對(duì)立事件的概率公式至少有1個(gè)評(píng)分不低于9分的概率P=1-P（A）=1-$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{17}{28}$；
（Ⅱ）由題意可知：本年度新產(chǎn)蘋(píng)果中任選1個(gè)評(píng)選不低于9分的概率為$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，X的可能取值為0，1，2，3，求得其概率，繪制其分布列，求得數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)評(píng)分不低于9分的事件A，P（A）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$，
至少有1個(gè)評(píng)分不低于9分的概率P=1-P（A）=1-$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{17}{28}$，
至少有1個(gè)評(píng)分不低于9分的概率$\frac{17}{28}$；
（Ⅱ）由表格數(shù)據(jù)可知：本年度新產(chǎn)蘋(píng)果中任選1個(gè)評(píng)選不低于9分的概率為$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
由題意可知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•（$\frac{1}{4}$）•（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•（$\frac{1}{4}$）²•（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{1}{64}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴X數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=0.75．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率知識(shí)，考查離散型隨機(jī)變量的分析與數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．