Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-4x-4，
（1）若 x∈[0，5]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）若x∈[t，t+1]（t∈R），求函數(shù)f（x）的最小值g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，從而求出函數(shù)的值域即可；
（2）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，即拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=2，最小值為-8，過(guò)點(diǎn)（0，-4），通過(guò)數(shù)形結(jié)合得出分段函數(shù)，再作出其圖象即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
對(duì)稱軸x=2，開(kāi)口向上，
f（x）在[0，2）遞減，在（2，5]遞增，
∴f（x）的最小值是f（2）=-8，
f（x）的最大值是f（5）=1，
故答案為：[-8，1]．
（2）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
即拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=2，最小值為-8，過(guò)點(diǎn)（0，-4），
結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)t+1＜2，即t＜1時(shí)，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R），
在x=t+1處取最小值f（t+1）=t²-2t-7，
當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{t+1≥2}\\{t≤2}\end{array}\right.$，即1≤t≤2時(shí)，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2處取最小值-8，
當(dāng)t＞2時(shí)，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t處取最小值f（t）=t²-4t-4，
即最小值為g（t），由以上分析可得，
g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-7，t∈（-∞，1）}\\{-8，t∈[1，2]}\\{{t}^{2}-4t-4，t∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，
作圖象如下：
．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．